Démonstration du sens de variation d'une fonction affine

Soit \(m\) et \(p\) deux réels.
Soit \(f\) la fonction affine définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=mx+p\).
Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).

1. Exprimer, en fonction de \(m,a\) et \(b\), la différence \(f(a)-f(b)\).
2. Quel est le signe de \(a-b\) ? 
3. Dans cette question, on suppose que \(m>0\).
    a. Quel est le signe de \(f(a)-f(b)\) ?
    b. En déduire une comparaison entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
    c. En déduire que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
4. Démontrer que si \(m<0\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
5. Démontrer que si \(m=0\), alors \(f\) est constante sur \(\mathbb{R}\).